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 multiplication

5/3/2009

multiplication (mathématiques)
1. Présentation

multiplication (mathématiques), opération élémentaire de l’arithmétique, symbolisée par le signe × (« fois »). On utilise parfois un point à la place de ce signe ou, dans certains cas, des parenthèses. Ainsi, le produit de 3 par 4 peut être représenté par 3 × 4, 3.4 ou encore (3)(4).

2. Propriétés

La multiplication est une opération commutative et associative. Pour tous nombres x, y et z, on a, en effet, les égalités suivantes :

  • x × y = y × x, relation qui traduit la commutativité de la multiplication ;
  • (x × y) × z = x × (y × z), relation qui traduit l’associativité de la multiplication.

Par ailleurs, la multiplication est distributive par rapport à l’addition. En effet, pour tous nombres x, y et z, on a :

  • x × (y + z) = (x × y) + (x × z)
  • 1 est appelé élément neutre de la multiplication, puisque, pour tout nombre y, y × 1 = y ;
  • 0 est appelé élément absorbant de la multiplication, puisque, pour tout nombre y, y × 0 = 0.

3. Multiplication d’entiers naturels
1. Table de multiplication

On peut assimiler la multiplication d’entiers naturels, appelés aussi nombres entiers, à une addition répétée. Par exemple, l’expression 3 × 4 correspond à l’addition de 3 termes égaux à 4 (4 + 4 + 4), ce qui, puisque la multiplication est commutative, est équivalent à l’addition de 4 termes égaux à 3 (3 + 3 + 3 + 3). Cependant, pour de grands nombres, une telle démarche s’avérant fastidieuse, on applique les règles de la multiplication qui supposent d’avoir mémoriser les résultats des combinaisons les plus simples, c’est-à-dire les multiples de base des entiers compris entre 0 et 9, illustrés par la table de multiplication suivante :

Pour déterminer le produit de deux chiffres quelconques, on repère tout d’abord le premier des chiffres situés dans la colonne de gauche de la table, puis le second chiffre dans la rangée horizontale du haut. Leur produit correspond alors au nombre se trouvant à l’intersection de la colonne et de la rangée considérées.

2. Multiplication manuelle

Pour multiplier deux nombres entiers, on aligne leurs unités, dizaines, centaines, etc., comme dans l’exemple suivant :

Chaque chiffre du multiplicande est ensuite multiplié par le multiplicateur, qui est égal à 4 dans ce cas précis. On additionne alors tous les résultats de ces multiplications, obtenant ainsi le produit désiré. Par conséquent, on peut écrire :

Toutefois, on peut raccourcir l’opération en effectuant des retenues pour les dizaines et les centaines, comme pour l’addition. Reprenons l’exemple ci-dessus. Tout d’abord, on multiplie le chiffre des unités par le multiplicateur, soit 6 par 4 qui font 24. On écrit alors le chiffre 4 dans le rang des unités du produit, tandis que le chiffre 2, qui signifie 2 dizaines, soit 20, fait l’objet d’une retenue. On écrit donc :

Ensuite, on multiplie le chiffre des dizaines par le multiplicateur, soit 8 par 4 qui font 32, auxquels on ajoute le 2 de la retenue, obtenant donc 34. Le chiffre 4 est noté dans l’espace réservé aux dizaines, tandis que le chiffre 3 (qui correspond à 3 centaines) est mis en retenue au-dessus de la colonne des centaines. Enfin, on multiplie le chiffre des centaines par le multiplicateur, soit 3 par 4 qui font 12, chiffre auquel on ajoute le 3 de la retenue, obtenant ainsi 15. La multiplication manuelle de 386 par 4 peut donc s’écrire :

3. Exposants

Lorsque l’on place un nombre en haut et à droite d’une expression, ce nombre, appelé exposant, indique la puissance à laquelle doit être élevée l’expression, autrement dit le nombre de fois que cette expression doit être multipliée par elle-même. Par exemple, 5 × 5 peut s’écrire 52, ce qui se lit « cinq au carré ». De même, 5 × 5 × 5 = 53, et se lit « cinq au cube ».

4. Multiplication d’entiers relatifs

La multiplication des entiers relatifs s’effectue en appliquant les deux règles suivantes :

— Pour multiplier deux nombres de même signe, on multiplie leurs valeurs absolues et on attribue au résultat un signe positif. Par exemple :

— Pour multiplier deux nombres de signes opposés, on multiplie leurs valeurs absolues et on attribue au résultat un signe négatif. Ainsi, on peut avoir :

5. Multiplication de fractions

On dit que q est une fraction ou un nombre rationnel s’il existe deux entiers p et n, n étant non nul, tels que :

p est appelé le numérateur de la fraction, et n le dénominateur.

Soient deux fractions ¡ et ¢. Le produit de ces fractions est alors la fraction ayant pour numérateur le produit des deux numérateurs, et pour dénominateur le produit des deux dénominateurs. Ainsi, on peut écrire :

Par exemple, on a :

Les règles de multiplication des fractions précédées d’un signe sont identiques à celles régissant la multiplication des entiers relatifs. Par exemple, on a :

6. Multiplication de nombres décimaux

La multiplication des nombres décimaux s’apparente à la multiplication des entiers, la seule différence étant qu’il faut bien veiller aux nombres de chiffres situés après la virgule. En fait, il est plus simple de considérer ce type de multiplication comme une multiplication d’entiers, la virgule du produit étant placée au rang correspondant à la somme des chiffres après la virgule du multiplicateur et du multiplicande. Par exemple, pour effectuer la multiplication de 0,3 par 0,5, on considère la multiplication de 3 par 5, qui font 15. Comme 0,3 et 0,5 possèdent chacun un chiffre après la virgule, le résultat du produit présente donc deux chiffres après la virgule. Ainsi, le produit obtenu est 0,15.

Autre exemple :

Puisque le multiplicande et le multiplicateur ont respectivement trois et deux chiffres après la virgule, le produit doit donc comporter au total cinq chiffres après la virgule. On compte donc cinq rangs vers la gauche à partir du chiffre situé à l’extrême droite du résultat (chiffre 8 du produit final). Le produit des deux décimaux est par conséquent 0,03108.

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