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 Cercle

25/2/2009

Cercle


Définitions et formules:

Le cercle de centre O et de rayon R est l'ensemble des points situés à une distance R de O. Ce cercle est noté C(O,R). Un cercle est une ligne courbe fermée, il n'a pas d'aire mais possède une longueur qui se calcule à l'aide de la formule:
P=2R

où P est le périmètre, est un nombre valant environ 3,14159... et R est la mesure d'un rayon. Exemple: périmètre du cercle de rayon 5cm=2×× 5 soit environ 2x3,14x5 ~31,4cm.

Le disque de centre O et de rayon R est l'ensemble des points situés sur et à l'intérieur du cercle C(O,R). Ce disque est noté D(O,R). Un disque est une surface possèdant une aire qui se calcule à l'aide de la formule:

A= R2 ou .R.R

( R2 est appelé "carré de R" ou "R au carré"). Exemple: aire du disque de rayon 5cm= .52 soit environ 3,14x25=78,5cm2.

Sur la figure ci-contre:

  • [OA] est un rayon, [AE] est un diamètre (O en est le milieu). Les diamètres sont les axes de symétrie du cercle (et du disque).
  • la corde [AB] est en bleu.
  • l'arc AB est en vert. En fait, deux points A et B sur un cercle déterminent deux arcs (deux "morceaux" de cercle), l'autre, ici, n'est pas mis en couleur.
  • La mesure de l'angle saillant au centre AOB est en rouge (il existe aussi deux angles au centre de même nom).
  • Le secteur angulaire de côtés [OA] et [OB] est représenté en jaune (il existe aussi deux secteurs angulaires de même nom: l'un est rentrant, l'autre est saillant comme celui colorié en jaune). Il s'agit d'une surface qui possède une aire

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Longueur d'un arc de cercle:

Pour calculer la longueur d'un arc de cercle il est nécessaire de connaître son rayon de courbure( égal au rayon du cercle qui lui sert de support) et la mesure de l'angle au centre qui lui correspond.

Il y a proportionnalité entre cette mesure( m en degrés par exemple) et la longueur de l'arc ( l en centimètres par exemple) comme il y a proportionnalité entre la plus grande mesure d'angle au centre (360°) et la plus grande longueur d'arc correspondant sur le cercle (cet arc est tout le cercle de longueur 2. pi.R ).

En utilisant les "produits en croix" nous obtenons la formule ci-dessus (inutile de la retenir; il vaut mieux bien comprendre la justification de ce calcul de proportions). Exemple: avec m=60° et R=5cm, nous avons:
l= (60.2 .pi.5):360 soit environ 5,24cm

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Constructions de cercles:

Cercles passant par 1 point: Il en existe une infinité, de rayons égaux ou différents
Cercles passant par 2 points: soit le cercle de centre O passant par les points A et B. Nous devons avoir OA=OB. Comme OA=OB alors O se trouve sur la médiatrice de [AB]. Comme la médiatrice de [AB] contient une infinité de points alors il y a une infinité de cercles passant par deux points donnés. Leur centre est sur la médiatrice de [AB]. Essayez de refaire la figure ci-dessous( donnez vous deux points A et B, tracez la médiatrice de [AB] et, pointe sèche sur différents points de cette médiatrice, tracez plusieurs cercles passant par A et B). Sur la figure ci-dessous O1 correspond au centre du cercle C1, O2 correspond au centre du cercle C2,...
Cercle passant par 3 points: il s'agit du cercle circonscrit à un triangle.

Cercle passant par 4 points: il s'agit du cercle circonscrit à un quadrilatère. Il n'existe que dans des cas particuliers. Les plus connus sont les cercles circonscrits au carré, au rectangle et au trapèze isocèle.

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Positions relatives de deux cercles:

La droite qui passe par les centres des deux cercles est appelée droite des centres.

Note : Vous pouvez utiliser une applet pour dessiner vous même les cas de figures ci dessous en cliquant ICI

Cercles tangents:

Deux cercles sont tangents lorsqu'ils n'ont qu'un point commun (point de contact ou point de tangence).
Ils peuvent être tangents extérieurement (fig 1) ou tangents intérieurement à l'un (fig 2).
Dans les deux cas, les centres et le point de contact sont alignés : le point de contact est sur la droite des centres.

Remarque: (d) est une droite tangente commune (voir paragraphe suivant). C'est la seule tangente commune dans le cas de la figure 2.

Cercles sécants:

Deux cercles sont sécants lorsqu'ils ont deux points communs (points d'intersection).
Ils peuvent être sécants extérieurement (fig 1) ou sécants intérieurement à l'un (fig 2). 

La droite (AB) est appelée sécante commune aux deux cercles alors que le segment [AB] est appelé corde commune. La droite des centres est médiatrice de la corde commune (ce qui reste à démontrer!..utilisez le fait que OA=OB et que IA=IB ...).

Deux cercles quelconques:

Dans le cas de la figure 1, ci contre, les deux cercles sont dits extérieurs l'un à l'autre (c'est le cas notamment des cercles sécants).
Dans le cas de la figure 1, le cercle de centre I est dit intérieur au cercle de centre O (il faut que le cercle soit complètement à l'intérieur de l'autre, sinon il est sécant intérieurement).

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Positions relatives d'un cercle et d'une droite:

Données: Un cercle de centre O et de rayon R, une droite (d). La distance de O à la droite (d) est OH.
Droite extérieure au cercle
Droite tangente au cercle
Droite sécante au cercle
OH>R

Aucun point commun

OH=R

Un point commun: le point de contact ou de tangence

OHDeux points communs

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Définition de la tangente à un cercle:
Une droite (d) est tangente à un cercle de centre O en un point M de ce cercle lorsque (d) est perpendiculaire au rayon [OM] au point M.

Construction d'une droite tangente à un cercle et passant par un point donné:

Le point est sur le cercle:
Données: Le cercle (C) de centre O et le point A sur le cercle (C) (fig 1).

La tangente à un cercle est une droite :

- passant par un point de ce cercle: le point A.
- et perpendiculaire à un rayon du cercle en ce point.

Il suffit donc de tracer la droite (d) perpendiculaire au rayon [OA] et passant par le point A (fig 2).

Le point est extérieur au cercle (voir aussi l' animation):
Données: Le cercle (C) de centre O et le point A, extérieur au cercle (fig 1).

Tracez le segment [OA] et construire son milieu I (fig 2)

Tracez le cercle de diamètre [OA] (ou: de centre I et de rayon IO). Ce cercle coupe le cercle donné en deux points P et Q (fig 3).

Comme le triangle OPA (respectivement OQA) est inscrit dans un demi cercle de diamètre son côté [OA] alors OPA (respectivement OQA) est rectangle en P (respectivement en Q).

Tracez les droites (AP) et (AQ). Comme OPA et OQA sont rectangles respectivement en P et Q alors ces deux droites sont respectivement perpendiculaires aux rayons [OP] et [OQ] du cercle (C) aux points P et Q de ce cercle (fig 4).
Les droites (AP) et (AQ) sont donc tangentes au cercle (C) (et elles passent par A, ce qui était demandé).

Construction de droites tangentes à deux cercles :

Si les deux cercles sont tangents revoyez, dans ce document, le cas de la tangente commune.
Si l'un des cercles est intérieur à l'autre, il n'existe pas de tangente commune au deux cercles.
Lorsque les deux cercles sont extérieurs l''un à l'autre il existe :

Quatre tangentes lorsque les cercles ne sont pas sécants :

     Deux tangentes extérieures : (avec Imagéo)
Les cercles (O,R) et (O',r) donnés sont en bleu.
Tracez d'abord :
- le cercle de centre O et de rayon R-r (en pointillés).
- les tangentes à ce cercle issues de O' (d'où le tracé du cercle de diamètre [OO'] pour déterminer les points A et B de tangence : voir plus haut
dans ce document).
- tracez les demi droites [OA) et [OB) qui coupe le cercle (O,R) en P et Q.
Les deux tangentes sont les droites parallèles à (AO') et à (BO') et passant respectivement par P et Q (tracées en rouge sur la figure).
En effet : le quadrilatère O'APP' est un rectangle (trois angles droits) avec AP=r, donc O'P'=r et P' est sur le cercle (O',r).
      Deux tangentes intérieures :
(avec Imagéo)
Tracez d'abord :
- le cercle de centre O et de rayon R+r (en pointillés).
- les tangentes à ce cercle issues de O' pour déterminer les points A et B de tangence.
- le reste de la construction est identique à la précédente.

Deux tangentes communes lorsque les deux cercles sont sécants :

La construction est semblable à la construction des deux tangentes à deux cercles extérieurs. Les tangentes intérieures n'existent évidemment pas.
Pour visualiser avec Imagéo, utilisez le
petit programme illustrant la construction de deux tangentes extérieures de deux cercles non sécants. Il suffit de rapprocher les centres O et O' (à l'aide de la souris, ces points sont en bleu sur Imagéo) jusqu'à ce que les deux cercles soient sécants.

 

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