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 les 4 opérations avec les décimaux

17/2/2009

Les 4 opérations avec les décimaux

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L'addition

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Pour effectuer une addition avec des nombres décimaux, on utilise les mêmes règles qu’avec les nombres entiers.

 Pour le calcul en colonnes, il faut juste aligner les nombres correctement en plaçant les chiffres de même nature (centaine, dizaine, dixième, centième…) les uns sous les autres ; et ne pas oublier d’ajouter une virgule au résultat en l’alignant également.

Si besoin, il peut être utile d’ajouter des zéros, voire de transformer un nombre entier en nombre décimal.

Enfin il est souvent utile d’évaluer l’ordre de grandeur du résultat afin de vérifier son résultat.

Exemples :

17,25 + 64,6 = 81,85

48 + 37,94 = 87,94

8,645 + 9 = 17,645

 

11 7, 2 5

+  6 4, 6 0

8 1, 8 5

 

 

14 8, 0 0

+  3 7, 9 4

8 7, 9 4

 

 

8, 6 4 5

+  9, 0 0 0

1 7, 6 4 5

 

...

La soustraction

...

Pour effectuer une soustraction avec des nombres décimaux, on utilise les mêmes règles qu’avec les nombres entiers.

 Pour le calcul en colonnes, il faut juste aligner les nombres correctement en plaçant les chiffres de même nature (centaine, dizaine, dixième, centième…) les uns sous les autres ; et ne pas oublier d’ajouter une virgule au résultat en l’alignant également.

Si besoin, il peut être utile d’ajouter des zéros, voire de transformer un nombre entier en nombre décimal.

Enfin il est souvent utile d’évaluer l’ordre de grandeur du résultat afin de vérifier son résultat.

Exemples :

84,85 - 5,3 = 79,55

59 - 38,25 = 20,75

8 - 2,325 = 5,675

 

814, 8 5

1  5, 3 0

7 9, 5 5

 

 

5 9,1010

-  318,12 5

2 0, 7 5

 

 

8,101010

12,1312 5

5, 6 7 5

 

...

La multiplication

...

Pour effectuer une multiplication avec des nombres décimaux, on utilise les mêmes règles qu’avec les nombres entiers.

 Pour le calcul en colonnes, on effectue le produit sans tenir compte de la virgule. On place ensuite la virgule de façon à ce que le résultat ait le même nombre de décimales que les termes du produit.

Exemples :

Multiplication d'un décimal par un entier :

85,64 x 27 = 2 312,28

Multiplication de deux décimaux :

0,255 x 8,6 = 2,1930

 

8 5, 6 4

x        2 7

5 9 9 4 8

 +  1 7 1 2 8 0

2 3 1 2,2 8

 

2 / 4 / 3

1 / 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, 2 5 5

x        8, 6

1 5 3 0

 +  2 0 4 0 0

2,1 9 3 0

3 / 3 / 1

4 / 4 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

- Multiplication d’un nombre décimal par 10 , 100 , 1 000…

Pour multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000… , on déplace la virgule d’1, 2, 3… rangs vers la droite. On peut ajouter des zéros si nécessaire.

Exemples :

35,641 x 10 = 356,41 35,641 x 100 = 3 564,1 35,641 x 1 000 = 35641

...

35,6 x 10 = 356 35,6 x 100 = 3 560 35,6 x 1 000 = 35 600

...

- Multiplication d’un nombre entier ou décimal par 0,1 , 0,01 , 0,001…

Pour multiplier un nombre décimal par 0,1 ,  0,01 , 1 000… , on déplace la virgule d’1, 2, 3… rangs vers la gauche.

Exemples :

345 x 0,1 = 34,5 345 x 0,01 = 3,45 345 x 0,001 = 0,345

...

234,5 x 0,1 = 23,45 234,5 x 0,01 = 2,345 234,5 x 0,001 = 0,2345

...

La division

...

- La division par 10, 100 , 1 000

 Il suffit de déplacer la virgule d’1, 2 ou 3 rangs vers la gauche du nombre et de supprimer éventuellement les zéros inutiles.

Exemples :

20 : 10 = 2 250 : 100 = 2,5 25 : 1 000 = 0,025

...

4,3 : 10 = 0,43 347,5 : 100 = 3,475 840,5 : 1 000 = 0,840 5

...

- La division de deux nombres entier lorsque le reste est différent de 0

 Lorsque le reste est différent de zéro, on peut continuer la division en utilisant les nombres décimaux. Il faut abaisser un zéro à la suite du reste et placer une virgule derrière le dernier chiffre du quotient entier, qui devient donc un nombre décimal.

On peut alors abaisser autant de 0 que l’on veut… jusqu’à obtenir un reste égal à zéro. Mais attention, certaines divisions sont « infinies » !

Exemples :

...

- La division d’un nombre décimal par un nombre entier

 Il suffit de placer une virgule au quotient lorsque l’on arrive au niveau de la virgule du dividende. On peut bien sûr ajouter des zéros à la droite de la partie décimale du dividende.

Exemples :

...

...

La moyenne

...

Calculer une moyenne

...

La moyenne se calcule en additionnant tous les termes dont on souhaite effectuer une moyenne (à condition que la série de nombres soit cohérente !), puis en les divisant par le nombre de termes.

Exemple :

- 16 élèves d’une classe de CM2 ont participé à un « défi mathématiques ». Voici les notes qu’ils ont obtenues :

11 - 17 - 11 - 15 - 12 - 9 - 12 - 8 - 14 - 15 - 13 - 17 - 17 - 16 - 14 - 16

 Pour calculer la moyenne obtenue par ces élèves à ce défi, on devrait effectuer les calculs suivants :

- Calculer la somme des notes obtenues :

11 + 17 + 11 + 15 + 12 + 9 + 12 + 8 + 14 + 15 + 13 + 17 + 17 + 16 + 14 + 16 =

(11 x 2) + (17 x 3) + (15 x 2) + (12 x 2) + (14 x 2) + (16 x 2) + 9 + 8 + 13 =

[(11 + 15 + 12 + 14 + 16) x 2] + (17 x 3) + 9 + 8 + 13 =

(68 x 2) + 51 + 9 + 8 + 13 =

136 + 60 + 21 = 217

- Diviser le total obtenu par le nombre de notes :

217 : 16 = 13,56....

La moyenne de la classe au défi mathématiques est donc de 13,5.

...

...

Les fractions

...

Calcul avec des fractions

Les fractions décimales

- Pour effectuer des calculs entre des nombres entiers et des fractions décimales, le plus simple est d’écrire les fractions sous la forme du nombre décimal équivalent.

Exemples :

L'addition

5 +

 25 

10

= 5 + 2,5 = 7,5

...

La soustraction

14 -

 35 

100

= 14 - 0,35 = 13,65

...

La multiplication

25 x

 5 

10

= 25 x 0,5 = 12,5

...

La division

35 :

 5 

10

= 35 : 0,5 = 70

- Pour effectuer des additions ou des soustractions avec des fractions décimales, si les dénominateurs sont égaux, il suffit d’effectuer les calculs entre les numérateurs.

Si les dénominateurs sont différents, il faut transformer les fractions afin d’obtenir le même dénominateur pour les différentes fractions.

Exemples :

L'addition

 35 

100

+

 15 

100

=

 35 + 15 

100

=

 50 

100

=

 1 

2

...

 8 

10

+

 75 

100

=

 80 

100

+

 75 

100

=

 155 

100

=

 31 

20

 

...

La soustraction

 8 

10

-

 2 

10

=

 8 - 2 

10

=

 6 

10

=

 3 

 5

...

 9 

10

-

 54 

100

=

 90 

100

-

 54 

100

=

 36 

100

=

 9 

25

 

...

La multiplication

- Pour effectuer des multiplications entre fractions décimales, il suffit simplement de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. On obtient une nouvelle fraction décimale… Attention aux zéros !…

 3 

10

x

 5 

10

=

 3 x 5 

10 x 10

=

 15 

100

=

 3 

20

...

 5 

10

x

 25 

100

=

 5 x 25 

10 x100

=

 125 

1 000

=

 1 

8

...

- Pour effectuer des divisions entre fractions décimales, il faut inverser le numérateur et le dénominateur de la fraction décimale qui sert de diviseur… et de procéder comme si c’était une multiplication !…

 9 

10

:

 3 

10

=

 9 

10

x

 10 

3

=

 90 

30

=

3

...

 5 

10

:

 25 

100

=

 5 

10

x

 100 

25

=

 500 

250

=

2

 

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