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 addition-soustraction-multiplication

17/2/2009

L'addition

...

L'addition est une opération qui permet de calculer la somme de plusieurs nombres.

...

Propriétés de l’addition :

 

17 + 14 = 14 + 17

- Nous disons que l’addition est une opération commutative ; nous pouvons intervertir, ou commuter, les deux termes d’une somme sans changer la valeur de cette dernière.

Ainsi pour deux nombres quelconques a et  b , on a :

a + b = b + a

  ...

2 + (98 + 129) = (2 + 98) + 129

- Nous disons que l’addition est une opération  associative ; nous pouvons choisir l’ordre des calculs, associer les termes afin de se faciliter les calculs, lorsque la somme est de plus de deux nombres.

Ainsi pour trois nombres quelconques a, b et  c , on a :

(a + b) + c = a + (b + c)

  ...

34 + 0 = 0 + 34 = 34

- Nous disons que l’addition possède un élément neutre : le 0

Ainsi quel que soit le nombre a, on a :

a + 0 = a

 

...

Calcul d’une somme

 - Pour additionner des nombres, on dispose les termes l’un au-dessous de l’autre en alignant en colonne les chiffres des unités, les chiffres des dizaines, les chiffres des centaines...

- Puis on ajoute les chiffres, colonne par colonne, à partir de la droite et l’on reporte une retenue lorsque la somme des chiffres est supérieure à 10.

Exemples :

1 4 5

+    5 2

1 9 7

1815 7

+    2 6 5

1 1 2 2

...

Applications

Forme algébrique Forme numérique

Problèmes associés

a + b = c 5 + 7 = 12

Pierre avait 5 billes au début de la journée. Il joue pendant la récréation et en gagne 7. Il en a donc 12 à la fin de la journée.

a + b = ?

25 + 20 = ?

Natacha a 25 euros dans sa tirelire. Pour son anniversaire son grand-père lui donne un billet de 20 euros.

- Quelle somme d'argent possède-t-elle maintenant ?

a + ? = c 148 + ? = 200

Jacques possède 148 timbres dans sa collection. Son oncle Albert lui en donne plusieurs et quand Jacques les compte à nouveau, il s’aperçoit qu’il en a maintenant 200.

- Combien son oncle lui en a-t-il donnés ?

? + b = c ? + 35 = 2007

Nous sommes en 2007 et Fanny a 35 ans.

- En quelle année est-elle née ?

 

...

 

L'addition et la soustraction sont deux opérations qui sont étroitement liées :

 

Ainsi pour résoudre des équations de la forme :

 

a + ? = c ou ? + b = c

 

Il faut calculer les soustractions suivantes :

 

c - a = ?

ou c - b = ?

 

...

...


La soustraction

...

La soustraction est une opération qui permet de calculer la différence entre deux nombres.

...

Propriétés de la soustraction :

 

10 - 7      7 - 10

- La soustraction n’est pas commutative.

  ...

10 - 10 = 0

- La différence de deux nombres égaux est égale à zéro.

Si la différence de deux nombres est égale à zéro, alors ces deux nombres sont égaux.

Ainsi quel que soit le nombre a, on a :

a - a = 0

... 

10 - 8 = (10 + 5) - (8 + 5) = 15 - 13 = 2

- Si on ajoute le même nombre aux deux termes d'une soustraction, la différence reste la même.

Ainsi pour 3 nombres quelconques a, b et c, on a :

a - b = (a + c) - (b + c)

...

10 - 7 = 3    =>  3 + 7 = 10

- On peut facilement vérifier le résultat d'une soustraction en calculant l'addition associée.

C'est calculer la preuve de la soustraction.

Ainsi pour 3 nombres quelconques a, b et c, on a :

a - b = c    =>  b + c = a

 

...

Calcul d’une différence

- Pour soustraire deux nombres, on dispose les termes l’un au-dessous de l’autre en alignant en colonne les chiffres des unités, les chiffres des dizaines, les chiffres des centaines...

- Puis on soustrait les chiffres, colonne par colonne, à partir de la droite et l’on reporte une retenue lorsque cela est nécessaire.

- Le calcul de la preuve permet de vérifier rapidement le résultat.

Exemples :

 

114 5

- 1  5 2

0 9 3

815 7

12 6 5

5 9 2

 

Calcul des preuves :

 

9 3

+   5 2

1 4 5

15 9 2

2 6 5

8 5 7

...

Applications

Forme algébrique Forme numérique

Problèmes associés

a - b = c 9 - 3 = 6

Jessim avait 9 billes au début de la journée. Il joue pendant la récréation et en perd 3. Il lui en reste donc 6 à la fin de la journée.

a - b = ? 35 - 20 = ?

Nathalie a reçu 35 euros pour son anniversaire. Elle s'achète un beau livre coûtant 20 euros.

- Combien lui reste-t-il dans sa tirelire ?

a - ? = c 200 - ? = 150

Rémi possède une collection de 200 petites voitures. Il décide d’en donner une partie à son petit frère.

Quand il recompte ses voitures, Rémi en trouve 150.

- Combien de petites voitures a-t-il données à son frère ?

? - b = c ? - 5 = 14

Mélissa collectionne les poupées. Elle décide de donner 5 poupées à sa petite sœur. Quand elle recompte ses poupées, elle n’en a plus que 14.

- Combien de poupées avait-elle avant d’en donner à sa sœur ?

 

...

 

L'addition et la soustraction sont deux opérations qui sont étroitement liées :

 

 

Ainsi pour résoudre des équations de la forme :

 

a - ? = c ou ? - b = c

 

Il faut calculer les opérations suivantes :

 

a - c = ?

ou c + b = ?

...

...


La multiplication

...

La multiplication est une opération qui permet de calculer le produit entre deux nombres.

...

Propriétés de la multiplication

 

15 x 12 = 12 x 15

- Nous disons que la multiplication est une opération commutative ; nous pouvons intervertir, ou commuter, les deux termes d’un produit sans changer la valeur de ce dernier.

Ainsi pour deux nombres quelconques a et  b , on a :

a x b = b x a

  ...

2 x (6 x 5) = (2 x 6) x 5

- Nous disons que la multiplication est une opération  associative ; nous pouvons choisir l’ordre des calculs, associer les termes afin de se faciliter les calculs, lorsque le produit est de plus de deux nombres.

Ainsi pour trois nombres quelconques a, b et  c , on a :

(a x b) x c = a x (b x c)

  ...

34 x 0 = 0 x 34 = 34

- Nous disons que la multiplication possède un élément absorbant : le 0

Ainsi quel que soit le nombre a, on a :

a x 0 = 0

...

34 x 1 = 1 x 34 = 34

- Nous disons que la multiplication possède un élément neutre : le 1

Ainsi quel que soit le nombre a, on a :

a x 1 = a

...

Calcul d'un produit

- Pour calculer le produit de deux nombres, on dispose les termes l’un au-dessous de l’autre en les alignant vers la droite...

- Puis on multiplie les chiffres, un par un, à partir de la droite et l’on reporte une retenue lorsque cela est nécessaire.

- Lorsque le multiplicateur est un nombre composé de plusieurs chiffres, on effectue les calculs chiffre après chiffre en allant à chaque fois à la ligne, sans oublier de décaler les résultats !!!...

Exemples :

19 3

x     5

4 6 5

5 9

x  2 5

2 9 5

+ 1 1 8  .

1 4 7 5

4

1

...

Applications

Forme algébrique Forme numérique

Problèmes associés

a x b = c 3 x 28 = 84

L'enseignant distribue 3 cahiers à chacun de ses 28 élèves. Il a distribué 84 cahiers. 

a x b = ? 3 x 5 = ?

Mathieu a acheté 3 pochettes de cartes. Chaque pochette contient 5 cartes.

- Combien a-t-il acheté de cartes ?

a x ? = c 5 x ? = 30

Océane achète pour 30 centimes de bonbons à la boulangerie. Elle ne paie qu'avec des pièces de 5 centimes.

- Combien de pièces doit-elle donner ?

? x b = c ? x 4 = 32

Un coureur a parcouru 4 tours d'un circuit. En tout, il a parcouru 32 km.

- Combien mesure le circuit ?

...

 

La multiplication et la division sont deux opérations qui sont étroitement liées :

 

 

Ainsi pour résoudre des équations de la forme :

 

a x ? = c ou ? x b = c

 

Il faut calculer les divisions suivantes :

 

c : a = ?

ou c : b = ?

...

...


La division

...

La division est une opération qui permet de partager un nombre en un certain nombre de parties égales, avec un reste éventuel.

On appelle le dividende (D) le nombre que l'on souhaite partager, le diviseur (d) est le nombre de parts, le quotient (q) est le résultat de la division, sans oublier le reste (r).

Le signe ":" est le symbole de la division.

Exemple :

12 : 5 = 2 et il reste 2

D : d = q + r

...

Propriétés

 

10 : 5 ≠ 5 : 10

- La division n’est pas commutative.

 ...

10 : 10 = 1

- La division de deux nombres égaux est égale à un.

Ainsi quelque soit le nombre a, on a :

a : a = 1

  ...

28 : 7 = 4 => 28 = 4 x 7

28 : 5 = 5 reste 3 => 28 = (5 x 5) + 3

- Le dividende est égal au produit du quotient et du diviseur, auquel on ajoute le reste.

On a ainsi :

D = (d x q) + r

 

Cette propriété est très utile pour vérifier le résultat d'une division.

 ...

Calcul d'un quotient

 

- Pour poser une division, on commence par écrire le dividende et le diviseur, séparé par un trait vertical.

Puis on souligne le diviseur, afin de le séparer du quotient.

 

Exemples :

 

328 : 5 = ?

 

 

Le diviseur (5) a 1 chiffre ; on considère donc le premier chiffre du dividende (328), donc 3.

 

 

3 étant inférieur à 5, il faut prendre un deuxième chiffre au dividende, donc 32

 

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