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 fractions

13/2/2009

Des fractions aux nombres :
une introduction

Elève de Cinquième, Mademoiselle Profette te parle :

"Tu as peut-être suivi le programme d'entraînement Drapeaux Rouges.
A présent, nous allons traiter le chapitre "fractions" dans son intégralité.

A l'issu de ce chapitre, tu seras capable d'effectuer des calculs avec  des fractions. Ce que ta machine ne saura pas faire, toi tu le maîtriseras.

Nous commencerons notre programme par deux pages de cours. Puis ce seront deux questionnaires à choix multiples. Enfin, tu pourras exercer tes talents de calculeur(trice)

Quand tu nous quitteras, nul ne pourra te surpasser sur les fractions !
Sauf moi !

Ce chapitre Des fractions aux nombres est composé de deux parties :

La partie Cours.
Cette partie comprend deux pages qui rappellent l'essentiel de ce qu'il faut savoir.
  1. Les fractions : les bases.
    Dans cette page, nous dirons ce qu'est une fraction, comment peut-on reconnaître deux fractions égales ou dire laquelle est la plus grande.
     
  2. Opérations sur les fractions.
    Tu y apprendras à additionner, soustraire et multiplier des fractions. Et puis, nous compliquerons le tout avec de super-mélanges. 
La partie Entrainement.
L'entrainement se déroule en deux phases :
  1. Des fractions de  tests.
    Première série d'épreuves constituée de Questionnaires à Choix Multiples pour voir ce que tu as retenu du cours.
     
  2. Des fractions d'exercices
    Tu pourras à loisir exercer tes talents de calculateur(trice). Avec cette page, tu deviendras (plus ou moins) vite une bête en calcul...
Disons un mot sur comment bien utiliser ce chapitre.
Toutes les pages composants ce chapitre sont accessibles par le menu situé dans la barre de titre : c'est la rubrique Au sommaire.
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Les fractions : les bases

Les fractions ne sont pas une nouveauté pour toi car tu les as vu en Sixième. Il s'agissait alors de fractions sur 10, 100 ou 1000.
Dans cette page, nous verrons qu'une fraction peut être sur n'importe quoi !

 

C'est quoi une fraction ?
Certains divisions tombent justes. C'est par exemple le cas de la division 45 ÷ 18 qui donne 2,5.
D'autres ne s'arrêtent jamais. C'est ce qui se produit avec 19 ÷ 3 = 6,333333333...
Pour que ces dernières aient un résultat, on crée une nouvelle espèce de nombre : les fractions.
Le résultat de la division 19 ÷ 3 est le nombre . Une valeur approchée de cette fraction est 6,333333333.

Définition : a et b sont deux nombres décimaux.
La fraction est le quotient de a par b.
= a ÷ b

Dans une fraction :

  • La partie haute est le numérateur.
  • La partie basse est le dénominateur.
 

En fait, tous les nombres que nous connaissons, sont des fractions. Même si parfois, ils se cachent. Regardons cela en détail.

  • Tous les entiers sont des fractions.
    Ainsi par exemple, 3 est une fraction ! En effet
  • Tous les décimaux sont des fractions.
    Par exemple, 4,51 et 0,241 sont des fractions car    et  .

 

 

Egalité de deux fractions.
Comme nous l'avons entrevu dans le précédent paragraphe, deux fractions dont l'écriture est différente peuvent être égales.
C'est par exemple le cas de    et  qui sont égales à 3.

Le problème est donc le suivant : 
Quand on a deux fractions apparemment différentes, comment peut-on savoir si elles sont égales ou non ?

Pour répondre à cette question, nous allons nous intéresser aux trois fractions.

Prenons par exemple    et   .
Une fraction est par définition le résultat d'une division. Effectuons les trois divisions correspondantes :

= 15 ÷ 6 = 2,5 = 45 ÷ 18 = 2,5 = 90 ÷ 36 = 2,5

Comme ces trois divisions donnent le même résultat, nous pouvons donc dire que ces trois fractions sont égales.
Mais qu'ont donc de communs ces trois fractions ?

Examinons séparément leurs numérateurs et leurs dénominateurs :

Numérateur  15 45 90






Dénominateur 6 18 36

Pour passer de 15 à 45, on multiplie par la même chose que pour passer de 6 à 18.
Autrement dit, ces deux fractions sont égales car pour passer de l'une à l'autre, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par un même nombre : 3.

Et c'est pareil pour la doublette    et  . Pour passer de l'une à l'autre, on multiplie numérateur et dénominateur par 2.

Nous tenons là notre règle.

Règle : Reconnaître deux fractions égales
Deux fractions sont égales lorsque pour passer de l'une à l'autre, on multiplie ou on divise ses numérateurs et dénominateurs par un même nombre.

Ainsi avec notre exemple :

Simplifier une fraction.
Simplifier une fraction, c'est trouver la fraction égale à cette première qui a les plus petits numérateur et dénominateur possibles.

Par exemple, la forme simplifiée de la fraction    est  .
On ne peut pas trouver de plus petits numérateur et dénominateur que 5 et 2.

 

 

Comparer deux fractions.
Comparer deux fractions, c'est dire laquelle est la plus grande, quelle est la plus petite.
Pour cela, il n'existe pas de règle générale. Seulement des trucs que nous allons aborder.

  • Les deux fractions ont le même numérateur.
    Lorsque deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le dénominateur le plus petit.
    Par exemple,  est plus grand que 
    En effet, le dénominateur 3 est plus petit que le dénominateur 8.
     
    C'est l'histoire du partage de 14 francs entre 3 ou 8 personnes. Dans quel cas la part sera-t-elle la plus grosse ?
         
      
  • Les deux fractions ont le même dénominateur.
    Lorsque deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
    Par exemple, est plus grand que .
    En effet, le numérateur 19 est plus grand que le numérateur 17.
     
    C'est logique car plus il y a à se partager et plus chacun aura !
     
     
  • Comparer une fraction par rapport à 1.
    Une fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur, est plus petite que 1.
    Par exemple, est plus petit que 1.
      
    Une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur, est plus grande que 1.
    Par exemple, est plus grand que 1.
     
    En conclusion, nous pouvons dire que :
    < 1 <
    Donc la fraction est plus grande que .
     
     
  • La méthode qui marche tout le temps : effectuer la division.
    En effet, une fraction est avant tout le résultat d'une division. On peut donc toujours essayer cette méthode même si elle n'est pas toujours la plus facile !
  • Opérations sur les fractions

    En Sixième, tu as sans doute déjà additionné, soustrait ou multiplié deux fractions. Il s'agissait alors de fractions sur 10, 100 ou 1000.
    Le traitement que tu réservais à ces fractions décimales, nous allons l'étendre à toutes les autres. Et à la fin, nous les combinerons...

     

    Additionner et soustraire deux fractions.
    Ce premier 
    Comme nous allons le voir, additionner deux fractions revient à ajouter des parts de gâteaux.
    Pour bien comprendre et analyser le phénomène, nous allons devoir envisager deux cas de figure.

  • Les deux fractions ont même dénominateur.
    Par exemple, additionnons les fractions  et  .
     
    Parlons tout de suite de ce qu'il ne faut pas faire !

    Certains petits malins diront certainement que pour additionner deux fractions, il suffit d'ajouter séparément leurs numérateurs et leurs dénominateurs !
    En clair, ils feront la bêtise suivante :

    C'est une belle anerie car 0,25 + 0,5 est égal à 0,75. Et non à 0,375 !
    Donc ce n'est certainement pas ainsi qu'il faut faire !

    Envisageons les choses de manière plus gastronomique !
    Rapportées à un gâteau rond partagé en quatre parts, la fraction    représente une part et    correspond à 2 parts.
    Comme nous devons faire une addition, additionnons les parts !
    Nous avons donc la situation suivante :


    Inspirons-nous de cet exemple gourmand.
    La bonne manière d'additionner les fractions    et    est donc :
    Comme est égal à 0,75 , nous avons donc trouvé le bon résultat !
    Nous savons désormais comment additionner (et même soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur.
     

    Règle 1 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur.
    Pour calculer la somme (ou la différence) de deux fractions ayant le même dénominateur :
    • on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs.
    • on conserve leur dénominateur commun.
    Autrement écrit :

    Cette règle est certes utile mais que se passe-t-il lorsque les deux fractions n'ont pas le même dénominateur ?
    C'est l'objet du cas suivant.
     
     

  • Les deux fractions n'ont pas le même dénominateur.
    Par exemple, additionnons les fractions    et  .
    Représentons pâtissièrement cette addition :

    A quelle fraction correspond la part totale ? Voilà la question !
    Les quarts et les tiers ne s'additionnent pas facilement même lorsqu'il s'agit de parts de gâteau !
    La seule chose que nous savons faire est d'additionner deux fractions ayant le même dénominateur.
    Nous allons donc mettre les fractions    et    sur un même dénominateur.
    Parmi les dénominateurs communs possibles, il y a 12, 24, 36...
    Nous choisissons le plus simple d'entre eux qui est 12.
     


    La situation vient donc évolué : au lieu d'additionner des quarts et des tiers, nous additionnerons des douzièmes...
     

     
    La bonne manière d'additionner les fractions    et    est donc :

     
    Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur, il suffit de leur trouver un dénominateur commun. D'où la règle suivante :
     
    Règle 2 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant des dénominateurs différents.
    Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur :
    • on les met sur un même dénominateur.
    • puis, on les additionne (ou on les soustrait) en utilisant la règle 1.

Nous savons désormais comment additionner ou soustraire deux fractions grâce à nos deux règles. Mais rien ne remplace la pratique !
C'est l'objet du prochain paragraphe.

 

 

Addition ou  soustraction particulières.
Dans le précédent paragraphe, nous avons vu et expliquer les règles qui permettent d'additionner et de soustraire deux fractions.
Dans ce paragraphe, nous allons la mettre en pratique sur deux exemples particuliers.

 
Exemple 1 : le plus petit dénominateur commun.
Effectuons l'opération .
Pour soustraire ces deux fractions, il faut au préalable leur trouver un dénominateur commun.
Certains diront que leur dénominateur commun est  48 = 8 × 6.
C'en est un mais ce n'est pas le plus simple !
Le plus simple est 24  car   24 = 8 × 3   et    24 = 6 × 4.

 

Nous aurions pu faire le calcul en choisissant pour dénominateur commun 48 mais ils auraient été un peu plus compliqués...

Exemple 2 : additionner un entier et une fraction.
Par exemple, effectuons l'opération .
Là, il y en a qui vont dire : "Additionner deux entiers, on sait faire. Additionner des fractions, on sait faire. Mais additionner un entier et une fraction, on ne sait pas faire !

Erreur car un entier est une fraction qui s'ignore ! En effet, .
A partir de là, nous savons faire !

Ce que nous avons fait pour l'entier 3 peut être refait pour n'importe quel nombre décimal car un décimal est lui aussi une fraction qui s'ignore.

 

 

Multiplier deux fractions.
Contrairement à l'addition et à la soustraction, les fractions se passent très bien le cap de la multiplication. Peut-être est-ce parce que une fraction est avant tout une division...

 

Règle : multiplier deux fractions.
Le produit de deux fractions est la fraction dont :
  • le numérateur est le produit des deux numérateurs des deux facteurs.
  • le dénominateur est le produit des deux dénominateurs de deux facteurs.

Autrement écrit :

Ainsi par exemple :

Nous savons multiplier deux entiers ou deux fractions. Mais qu'en est-il de la multiplication d'une entier par une fraction ?

Le problème : multiplier un entier et une fraction.
Par exemple, effectuons la multiplication  3 × .
A l'opération près, c'est l'exemple 2 du précédent paragraphe.
Nous avions usé alors d'une grosse astuce en disant que l'entier 3 était aussi la fraction .
Réutilisons cette astuce...

Une remarque : Si l'on regarde bien ce qui a été fait, on observe que :

  • on a multiplié le numérateur 2 par l'entier 3.
  • on a conservé le dénominateur 7.

C'est l'application de la règle :

 

 

Des additions, des soustractions et des multiplications : la totale !
Dans une expression, il est possible d'avoir trois fractions, une addition et une multiplication. Par exemple, nous pourrions être amené à calculer  .
Point de panique car ce genre de calculs, nous savons les faire. C'est juste une histoire de priorités opératoires.

Voyons comment marchent les choses avec deux exemples :

  • Calculons .
    Cette expression se compose d'une addition et d'une multiplication. Cette dernière est prioritaire sur la première. Le calcul commencera donc par la multiplication.
     

     
  • Calculons .
    La présente expression comporte une multiplication et une addition entre parenthèses. Nous devons en priorité nous occuper de ce qui est entre parenthèses.
     

     
Une remarque de présentation dans tes calculs :
A l'issue d'un calcul, on s'arrange (et t'arrangeras) toujours pour donner la fraction la plus simple possible. C'est-à-dire celle ayant les plus petits numérateur et dénominateur possibles.

Des fractions de tests !

Elève de Cinquième, Mademoiselle Profette, s'adresse à ta personne :

"Tu vas devoir mettre en application ce que tu as appris.

Sous ma surveillance, tu répondras à nos deux questionnaires à choix multiples. Hormis un peu de réflexion, cela te demandera peu de travail : il te suffira juste de cocher des cases avec un clic de souris.

Maintenant, il faut que tu choisisses un des deux questionnaires."


Des fractions d'exercices !

Elève de Cinquième, Mademoiselle Profette, celle qui va te guider dans ton super entraînement intensif te parle :

"Te voici arrivé(e) à la phase que je préfère : celle où tu vas travailler !

Sous ma surveillance, tu effectueras toute une série de calculs comportant des fractions. Je les ai regroupés par niveau. Le premier est le plus facile et le troisième est le plus dur !
La consigne est simple : donner le bon résultat pour chaque calcul.

Avec le bouton Nouveau, tu pourras recommencer un niveau. Tu ne referas jamais les mêmes calculs.

Maintenant, il faut que tu choisisses ton niveau."

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Comments

bobouche, le 12-12-2010 à 16:29:57 :

je ne comprand rien.

je ne comprand rien.

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