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 Symétrie dans le plan

3/2/2009

Symétrie dans le plan 

Symétrie par rapport à un point

Présentation

La symétrie de centre O est la transformation qui , à tout point M, associe le point M' tel que O soit le milieu de [MM'].

Image:symcentre.png
Construction : Tracez la droite (d) passant par A et O. Prolongez laau-delà de O. Avec un compas pointé en O et un écartement égal à OA,recoupez (d) en A'.

Le seul point invariant de cette symétrie est le point O.

Une symétrie de centre O est aussi une rotation d’angle plat et une homothétie de centre O et de rapport -1

Centre de symétrie

Une figure possède un centre de symétrie C si elle est invariante par la symétrie de centre C.

Exemples de centre de symétrie :

  • Les lettres N, S et Z possèdent un centre de symétrie. D’autreslettres possèdent un centre de symétrie car elles possèdent deux axesde symétrie, on les découvrira dans le chapitre des symétrieorthogonale dans un plan.
  • Un parallélogramme possède pour centre de symétrie le pointd’intersection de ses diagonales. Cette propriété est caractéristiquedes parallélogrammes : un quadrilatère ABCD possédant cette propriétéest nécessairement un parallélogramme.

  • L’hexagone est un polygone qui admet l’intersection de ses diagonales comme centre de symétrie.
  • Le cercle admet son centre comme centre de symétrie.
  • En analyse, une courbe d’équation y = f(x) possède un centre de symétrie C(a ; b) si et seulement si, pour tout réel h tel que a + h appartienne au domaine de définition de f, on a
    • a - h appartient au domaine de définition
    • f(a + h) + f(a - h) = 2b
Lorsque le centre de symétrie est à l’origine du repère, lafonction est dite impaire. Dans ce cas l'expression précédente sesimplifie en : f(- h) = - f(h).

Groupe des symétries centrales-translations 

La composée de deux symétries de centres O et O', sO' o sO est une translation de vecteur 2overrightarrow{OO'}

Image:Symetrie centre comp.png
Le théorème des milieux permet de remarquer que overrightarrow{MM''}=2overrightarrow{OO'}

Cette propriété permet de définir un premier groupe de transformationsdu plan : celui des symétries centrales-translations. En effet, encomposant deux symétries centrales ou translations, on obtient unesymétrie centrale ou une translation. Et, pour obtenir l’applicationidentique, il suffit de composer une translation de vecteur u par la translation de vecteur -u, ou de composer une symétrie centrale par elle-même.

La symétrie centrale conserve les distances et les angles orientés. C’est donc une isométrie positive ou déplacement. Le groupe défini précédemment est donc un sous-groupe du groupe des déplacements.

Symétrie orthogonale par rapport à une droite

Présentation

On les appelle aussi des réflexions d’axe (d). La réflexion d’axe (d) est la transformation du plan qui laisse tous les points de (d) invariants et qui, à tout point M non situé sur (d), associe le point M' tel que (d)soit la médiatrice de [MM']. Comme il existe deux définitionséquivalentes de la médiatrice, on connaît ainsi deux constructionséquivalentes du point M'.

Construction 

Données : l'axe de symétrie (d), le point A.

Objectif : construire A' symétrique de A par la symétrie orthogonale d'axe (d).

  • Première méthode :
Tracez une droite perpendiculaire à (d) passant par A. Cette droite coupe l'axe en un point H.
Avec le compas pointé en H et écarté jusqu'à A, recouper la droite (AH) en A'
  • Deuxième méthode :
Le point B étant donné, on cherche le point B' tel que l'axe (d) doit être la médiatrice de [BB'].
Pour construire le point B' nous allons utiliser la propriété suivante :Tout point d'une médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
Nous choisissons deux points quelconques c1 et c2 de (d) et nous allons déterminer un point B' tel que c1B=c1B' et c2B=c2B'.
Ainsi nous sommes certains que (c1c2), c’est-à-dire d, est la médiatrice de [BB'].
Choisissez c1 et c2 sur (d).
Placez la pointe sèche du compas sur c1 et écartez l'autre branche jusqu'à B. Tracez un arc.
Exécutez la même chose avec la pointe sèche en c2.
Les deux arcs se coupent en B et en B'.

Image:Symetrie axe.png

Axe de symétrie

Une figure possède un axe de symétrie (d) si et seulement si elle est invariante par la réflexion d’axe (d)

Exemples de figures usuelles :

  • Les lettres A, B, C, c, D, E , K , l, M, T, U, V, v, W, w possèdentgénéralement un axe de symétrie dans nombre de polices de caractèressimples (non cursives et non italiques).
  • Le cercle possède une infinités d’axes de symétrie : tous ses diamètres. Ce peut être parfois le cas des lettres O et o élargies (non cursives et non italiques).
  • Un angle quelconque a toujours un axe de symétrie : sa bissectrice. Ce peut être parfois le cas de la lettre L élargie (non cursives et non italiques).
  • Le triangle isocèle possède un axe de symétrie : sa bissectrice principale. C’est généralement le cas de la lettre grecque delta majuscule Δ (non cursive et non italique).
  • Le triangle équilatéral possède 3 axes de symétrie : ses 3 bissectrices.
  • Le losange en possède 2 : ses 2 diagonales.
  • Le rectangle en possède 2 : ses 2 médianes.
  • Le carré en possède 4 : ses 2 diagonales (puisque c’est aussi un losange) et ses 2 médianes (puisque c’est aussi un rectangle).
  • En analyse,
    une courbe d’équation y = f(x) possède un axe de symétrie d’équation x = a si et seulement si, pour tout h tel que (a + h) appartient au domaine de définition de f, on a :
    • (ah) appartient au domaine de définition, et
    • f(a + h) = f(ah) ;
    lorsque l’axe de symétrie est l’axe (Oy), c’est-à-dire ici l’axe d’équation x = 0 (donc avec a = 0), la fonction est dite paire : f(h) = f(−h)

Une figure possédant deux axes de symétrie perpendiculaires a pour centre de symétriele point d’intersection des deux droites. Par exemple, les lettres H,I, O, X dans des polices de caractère simples (non cursives et nonitaliques) possèdent souvent deux axes de symétrie perpendiculaires,donc aussi un centre de symétrie, de même le rectangle, le losange etle carré.

Réflexion et groupe des isométries

La réflexion conserve les distances et les angles. C’est donc une isométrie. Mais elle ne conserve pas l’orientation (voir chiralité). On dit que c’est un antidéplacement.

Composition des réflexions

La composée de deux réflexions d’axes parallèles est une translation, de distance égale à deux fois la distance entre ces axes.

Dans l’image ci-contre, les propriétés vectorielles des milieux permettent de dire que
overrightarrow{MM''} = 2 overrightarrow{HH'} = 2 ec{u}

Image:Symetrie axe comp1.png

La composée de deux réflexions d’axes sécants est une rotation, d’angle égal au double de l’angle formé entre les deux axes.

Dans l’image ci-contre, les propriétés sur les bissectrices permettent de dire que
left(overrightarrow{OM}, overrightarrow{OM''}
ight) = 2 left(overrightarrow{OH}, overrightarrow{OH'}
ight) = 2 alpha

Image:Symetrie axe comp2.png

On remarque alors que l’ensemble des réflexions génère tout l’ensemble des isométries.

Symétrie oblique

La symétrie par rapport à une droite (d) suivant une direction (d') (non parallèle à (d)) est la transformation qui laisse tous les points de (d) invariants et qui, à tout point M non situé sur (d) associe le point M' tel que la droite (MM') soit parallèle à (d') et le milieu de [MM'] soit sur (d)

Image:Symetrie oblique.png

Cette symétrie est bien involutive : le symétrique de M’ est bien M.Elle offre moins d’intérêt que ses cousines car elle ne conserve pasles distances: elle déforme les figures. Cependant, elle conserve lesbarycentres et fait donc partie des transformations affines.

Symétrie dans l’espace 

Symétrie centrale 

On retrouve la même définition et les mêmes propriétés que pour lasymétrie centrale dans le plan, à ceci près qu’une symétrie centrale neconserve pas l’orientation dans l’espace.



Le bonhomme lève la main droite et son image lève la main gauche.




Symétrie orthogonale par rapport à une droite 

On retrouve la même définition que dans le plan. Une symétrie orthogonale par rapport à une droite est aussi une rotation d’axe (d) et d’angle plat.

Contrairement à ce qui se passe dans le plan, une telle symétrie dans l’espace conserve l’orientation.


Le bonhomme lève la main droite et son image lève la main droite.


Symétrie orthogonale par rapport à un plan

La symétrie orthogonale par rapport au plan (P) est la transformation qui laisse tous les points de (P) invariants et qui, à tout point M non situé sur (P), associe le point M’ tel que (P) soit le plan médiateur de [MM']


Une telle symétrie conserve les distances et les angles mais neconserve pas l'orientation. C'est la raison pour laquelle, quand vouslevez la main droite devant votre miroir, votre image lève sa maingauche.

On démontre que l'ensemble des symétries par rapport à des plansgénère par composition tout l'ensemble des isométries de l'espace

Les symétries obliques

On peut tout aussi bien définir des symétries d’axe (d) selon la direction (P) ou des symétries par rapport à (P) suivant la direction (d), à condition que tout sous-espace égal ou parallèle à (P) ne contienne pas entièrement (d) ni ne soit entièrement contenu dans (d) et que leur intersection se réduise à un seul point (sinon ces transformations ne sont pas des symétries mais des projections).

Mais ces transformations ne sont pas des isométries si (d) et (P)ne sont pas orthogonaux. Ces transformations (de même que lesprojections) conservent cependant les barycentres et sont des casparticuliers de transformations affines de l’espace.

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