Symétrie orthogonale » Mathématique | Bloguez.com

 Symétrie orthogonale

3/2/2009

Symétrie orthogonale

Définitions.
Expérience simple.
Propriété caractéristique.
Construction du point symétrique d'un point donné.
Figures possédant au moins un axe de symétrie.
Symétriques de quelques figures simples.
Propriétés conservées par la symétrie axiale.

Définitions: 

     Sur le dessin ci-contre, tout ce qui est en haut est représenté en bas mais "à l'envers". La transformation qui permet de faire correspondre, sur le dessin, un point du haut avec un point du bas est appelée symétrie orthogonale ou axiale (orthogonale pour une raison que nous allons voir dans la suite).

dessin

     Les points communs au haut et au bas sont sur une droite appelée axe de symétrie (en bleu clair sur le dessin). C'est pour cette raison que la symétrie orthogonale est aussi appelée symétrie axiale.

     Les points qui se correspondent, dans une symétrie orthogonale, sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe.

Remarque:
     Le dessin ci-dessus ne fait qu'illustrer une symétrie orthogonale particulière. En Géométrie, les termes: "haut", "bas", "à l'envers" n'ont pas de signification.

début(petit)
Expérience simple:

Prenez une feuille de papier. Pliez la en deux. Avec la pointe d'un compas, faites un trou dans les deux épaisseurs de papier. Dépliez et tracez la droite (xy) représentée par le pli, ainsi que le segment joignant les deux trous A et B. Observez la figure obtenue avec une équerre et un double décimètre (ou mieux: un compas). Qu'en conclure? Voir les paragraphes suivants.

début(petit)
Propriété caractéristique:

L'axe de symétrie (xy) est la médiatrice du segment [AB]. Donc:
Si deux points sont symétriques par rapport à une droite
Alors cette droite est médiatrice du segment d'extrémités ces deux points.

début(petit)
Construction du point symétrique d'un point donné:

Données: l'axe de symétrie (xy), le point A.
Construire le point B, symétrique de A par rapport à (xy).

Première façon: (voir aussi l'animation)

     Nous devons obtenir la figure ci dessous. Pour cela il faut que l'axe (xy) soit perpendiculaire au segment [AB] en son milieu (puisque (xy) doit être la médiatrice de [AB]):

    

     Il s'agit de tracer une droite perpendiculaire à l'axe (xy) qui coupe (xy) en H et de déterminer le point B sur cette droite perpendiculaire de façon que H soit le milieu de [AB].

  1. tracer un arc de cercle de centre A coupant (xy) en deux point P et Q.
  2. avec P, puis Q, comme centres, tracer deux arcs de cercle passant par A.
  3. Ces deux arcs se recoupent en en un point B. Les points P et Q sont équidistants de A et de B, donc (PQ), c'est à dire (xy) est médiatrice de [AB]. Le point B est le symétrique de A par rapport à (xy).

Deuxième façon: (voir aussi l'animation)

     Le point A étant connu, l'axe (xy) doit être la médiatrice de [AB]. Pour construire le point B nous allons utiliser la propriété suivante:

tout point d'une médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

     Nous choisissons deux points quelconques P et Q de (xy) et nous allons déterminer un point B tel que PA=PB et QA=QB. Ainsi nous sommes certains que (PQ), c'est à dire (xy), est la médiatrice de [AB]. Construction:

  1. Choisissez P et Q sur (xy).
  2. Placez la pointe sèche du compas sur P et écartez l'autre branche jusque A. Tracez un arc (voir figure 1 ci-contre).
  3. Exécutez la même chose avec la pointe sèche en Q.
  4. Les deux arcs se coupent en A (forcément!) et en B (figure 2).

Remarques:

     - Si B est le symétrique de A par rapport à (xy) alors A est symétrique de B par rapport à (xy). Nous dirons plus simplement que A et B sont symétriques par rapport à (xy).
     - Le point B, symétrique de A, est aussi appelé image de A par la symétrie d'axe (xy).
     - Si le point A est sur l'axe (xy) alors son symétrique est lui même (on dit que l'axe est invariant point par point). Par conséquence: si un objet géométrique (segment, droite, cercle, angle,..) coupe l'axe de symétrie en un point (ou plusieurs points) alors ce point (ou ces points) appartient (appartiennent) aussi à son symétrique par rapport à cet axe. Cette propriété est très souvent utile lors de la construction d'une image par symétrie axiale.

Le fait que le segment joignant un point et son symétrique, soit orthogonal à l'axe, justifie l'appellation de symétrie orthogonale.

début(petit)
Figures possédant au moins un axe de symétrie:

     Une figure possède un axe de symétrie lorsqu'en la pliant selon cet axe, les deux parties de la figure se superposent. Exemples de figures usuelles:

Le cercle possède une infinités d'axes de symétrie: tous ses diamètres.

Un angle quelconque a toujours un axe de symétrie: sa bissectrice.

Le triangle isocèle possède un axe de symétrie: sa bissectrice principale.

Le triangle équilatéral possède trois axes de symétrie: ses 3 bissectrices .

Le losange en possède deux: ses 2 diagonales.

Le rectangle en possède deux: ses 2 médianes.

Le carré en possède quatre: ses 2 diagonales (puisque c'est aussi un losange) et ses 2 médianes (puisque c'est aussi un rectangle).

début(petit)
Symétriques de quelques figures simples:

     Sur les figures ci-dessous, l'axe de symétrie est noté (d) et coloré en bleu. La figure à transformer est coloriée en vert. Les points remarquables sont représentés par des petits disques de couleur.

     Je vous conseille de tracer ces figures (c'est la meilleure manière de comprendre les propriétés des symétries axiales). Utilisez un papier non quadrillé et apprenez d'abord à construire le symétrique d'un point par rapport à une droite (cette construction est essentielle). Si vous avez des difficultés, observez chaque construction en lançant l'animation correspondante (il s'agit de petits programmes Java s'exécutant dans une fenêtre auxiliaire).

1. L'image d'une droite est une droite. Si la droite donnée n'est pas parallèle à l'axe de symétrie alors cette droite et son image se coupent sur l'axe (fig 1 voir aussi l'animation). Pour tracer l'image de la droite (AB) il suffit de la prolonger jusqu'à son intersection I avec l'axe, de construire l'image E de A: la droite symétrique est (EI). Nous pouvons aussi construire les symétriques E et F de A et B: la droite symétrique est (EF). Ce qui revient au même mais est plus long...

2. L'image d'un segment [AB] est un segment [EF] de même longueur (fig 2 voir aussi l'animation).

3. L'image d'un cercle de centre O et de rayon R est un cercle dont le centre est I symétrique de O par rapport à (d) et de même rayon R (fig 3 voir aussi l'animation). Si A est un point du cercle alors E, image de A, est sur l'image du cercle. (d) est donc la médiatrice de [AE], de [OI], de [BF],... et nous avons les égalités suivantes: OA=IE, OB=IF...(comme il s'agit de rayons, nous avons bien sûr: OA=OB=...=IE=IF=...=R).
Remarque: Dans l'animation il est ici particulièrement conseillé de déplacer les points bleus (centre et point sur le cercle) pour étudier tous les cas de figure)

 
4. L'image de deux droites parallèles est deux droites parallèles. Pour les tracer il suffit de construire les images de trois points (fig 4 voir aussi l'animation ).

5. L'image de deux droites perpendiculaires est deux droites perpendiculaires. Pour tracer les images de ces deux droites utilisez l'image E du point d'intersection A des deux droites données et les points d'intersection de ces droites avec l'axe (ou les images de points quelconques de chacune) (fig 5 voir aussi l'animation ).

6. L'image d'un angle est un angle de même mesure (fig 6 voir aussi l'animation ). Pour tracer l'image d'un angle utilisez l'image de son sommet et les points d'intersection de ses côtés avec l'axe de symétrie. C'est le plus simple et le plus précis. Evitez l'utilisation du rapporteur. Bien sûr vous pouvez choisir un point sur chacun des côtés et en tracer les images...

 

début(petit)
Propriétés conservées par la symétrie axiale:

     Le paragraphe précédent illustre les propriétés suivantes:

Les symétries orthogonales conservent:

Les distances (fig 2 et fig 3).

Le parallélisme et l'orthogonalité (fig 4 et 5).

Les mesures des angles (fig 6) et les alignements.

  

     Les aires de deux surfaces symétriques par rapport à une droite sont égales (le calcul sur les aires utilise des longueurs et des propriétés (angles notamment) qui sont conservées).(voir une animation)

Category : reserved to connected users | Write a comment | Print

Comments

| Contact author |